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展示课上一道数学选择题的精彩探究过程
青龙满族自治县第一中学 杨贺用
作者:杨贺用    文章来源:本站原创    点击数:    更新时间:2013-12-26    
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在传统的教学中教师时常有这样的困惑:这道题是讲(或学生做)过的,学生怎么又做错了呢?!其实,大多数学生在学习中或多或少都存在这样的问题:一看就会,一听就懂,一做就错,一放就忘。究其原因,学生自身素质固然是一个因素,但是不可否认,教师的传统教法也是一个重要的制约因素。学校实行的课堂改革,“学案导学四课型“教学模式,就可以激活学生的思维,激发其求知欲、创造欲,很好地解决了这一问题。

2012109教科室安排我讲了一节展示课的观摩课,现在讲一下自己的点滴体会。

课题内容是《等差数列等比数列的基本概念、基本运算和基本性质》,第一道选择题,是一道考察等差数列、等比数列基本概念的题目,内容是:

已知{an}{bn}都是等比数列,那么(   

 A{ an + bn }{ an * bn }都一定是等比数列。

 B{ an + bn }一定是等比数列,{ an * bn }不一定是等比数列。

 C{ an + bn }不一定是等比数列,{ an * bn }一定是等比数列。

 D{ an + bn } { an * bn }都不一定是等比数列。

自主学习后,根据学习报告和反馈卡来看,绝大部分学生都得出了正确答案,最初没有确定为展示内容。但准备展示课时,我觉得这是考查等比数列定义的一道好题,学生容易根据解答选择题的技巧,运用特殊值的方法得到答案。从而使这道题考查的意图落空,不能达到训练目的。所以,最终把这道题确定为展示内容,通过学生探究,取得了意外的好效果。过程如下:

孙中达

设等比数列 {an}{bn}的公比分别为q1 q2,根据定义,

an= an-1 q1bn= bn-1 q2,可得

an bn = an-1 q1 bn-1 q2= (an-1bn-1 )( q1 q2)

所以数列{ an * bn }是公比为q1 q2的等比数列。大家明白吗?

全体同学:明白。

孙中达:可排除选项B,D

:孙中达运用定义证明了{ an * bn }是等比数列,很好!但是,我有一点想法。是否应该说明a1 * b10,为什么?

同学们若有所思,小声议论,孙中达抢答:强调等比数列的各项不能为零。

:非常好!(一片掌声)继续。

孙中达:取等比数列{an}1,  2,  4,  8,  16,  32,…

等比数列{bn}1 3 9 27  81 243

则数列{ an + bn }2 5 1335 97,  275,…显然不是等比数列,排除选项A,答案为C,大家明白吗?

此时,有同学说明白,有同学小声议论。

:谁有问题,请大声说。

张夺:孙中达讲的不是等比数列,而选项C说不一定是等比数列。

郝希尧:能不能还用定义说明。(学生思维发生碰撞,产生冲突)

孙中达:例如数列{an}1 1 1 1 1 1,…是等比数列,对吧?

{bn}1,  2,  4,  8,  16,  32,…也是等比数列吧,而数列{ an + bn }2 3 5 9 17 33,…不是等比数列,所以{ an + bn }不一定(声音渐小,口气犹豫)是等比数列,答案为C

很多同学差不多同时说:你举的仍然不是等比数列,没有说明可能是等比数列。

师:作为选择题,孙中达通过特殊数列,采用排除法得到了正确答案,从得分角度获得了成功。但是,数列{ an + bn }不一定是等比数列的含义是{ an + bn }可能是也可能不是等比数列,孙中达还缺少{ an + bn }是等比数列的例子或说明。还有,没有回答郝希尧的问题:能不能还用定义说明。(把握时机,及时展现学生的原思维过程,让学生进行“再创造”。这样的“再创造”能使学生始终处于积极的状态,创造的状态。)

同学们思考、交流、讨论。

孙中达:那么,我用定义试一下,若想说明{ an + bn }是等比数列,只要证明

an + bn=an-1 + bn-1q,因为an=an-1 q1,所以bn= bn-1q2

an + bn=an-1 q1+ bn-1 q2(停顿,思考…讲不下去)

有学生小声议论跃跃欲试,教师及时提问。

黄美靓:两个等比数列的公比相等时,{ an + bn }是等比数列。

苏明明:(抢答)例如数列{an}1 1 1 1 1 1,…

{bn}2,  2,  2,  2,  2 2,…都是等比数列,显然数列{ an + bn }也是等比数列。

(学生的思维发生碰撞、交流,产生共鸣)

孙中达:(恍然大悟状,兴奋)当q1 = q2时,设为q,则

an + bn=an-1 q1+ bn-1 q2 =an-1 + bn-1q,所以,{ an + bn }是以q为公比的等比数列。

:在黄美靓的启发下,苏明明举出了{ an + bn }是等比数列的实例,孙中达进行了定义方面的证明。现在,请同学们思考讨论一下,孙中达的证明完善吗?

(设计这个问题情境让学生及时暴露学生思维过程,德国教育家第斯多位指出“一个坏的教师奉送真理,而一个好的教师叫人发现真理”。及时暴露学生思维过程,特别要暴露是如何由失败走向成功的。忽视失败的介绍,就没有起到优化学生的思维品质,培养学生的心理品质的作用)

:(适时点拨)请大家观察下面两个数列:

{an}1 2 4 8 1632,…

{bn}-1,  -2,  -4,  -8,  -16-32,…

(话音未落,学生纷纷抢答。不需更多的语言,教师的启发,把问题设计在学生的“最近发展区”,就能点燃学生的思维火花,激发创造力,让学生感到“跳一跳可以摘到苹果”,得到成功的体验,增添学习的乐趣)

张凤云:应该补充{ an + bn }的每一项都不等于零。

孙中达:在an + bn=an-1 q1+ bn-1 q2 =an-1 + bn-1q前提下,只需

a1 +b10

:非常好!还有补充吗?情回顾一下等比数列定义。

王劲贺(平时不太发言):定义中有“从第二项起”,因此应该说明n2

:太好了,王劲贺同学的补充非常重要。通过大家的努力,这道题的解答是否完善了呢,请同学们总结整理一下。

孙中达:设等比数列 {an}{bn}的公比分别为q1q2 ,根据定义,有an =an-1 q1bn=bn-1 q2,可得an + bn=an-1 q1+ bn-1 q2 (n2)

q1 = q2a1 +b10时,{ an + bn }是等比数列;

q1q2a1 +b1 =0时时,{ an + bn }不是等比数列。(同学们一片掌声)(学生再一次体验了成功,在品尝成果的同时,培养了主体精神和创造能力,激发了探索精神,也锻炼了应变能力)

:很好!通过这道题的解答,加深了对等比数列定义的透彻理解,也掌握了证明等比数列的方法。请继续展示下面的问题…(略)

“问题是数学的心脏”,没有问题就没有数学。因此,数学展示课上,教师应该十分重视问题情境的创设,打破学生已有的认知结构平衡,从而唤起思维,激发学生内驱力,是学生进入问题“角色”,真正卷入学习活动中,进行讨论、探究,达到掌握知识,提高能力的目的。

 

文章录入:哈萨1989    责任编辑:dongzhanshuai 
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